- OpenAI 發現了三維 Navier–Stokes 方程式中的有限時間奇點。
- 該結果可能解決數學界的七大千禧獎問題之一。
- 研究人員使用大型代理網絡進行多版本問題的競爭性研究。
- OpenAI 不打算申請千禧獎，而是分享證明以展示數學能力進步。
OpenAI 近日宣佈，其內部系統已經發現了三維 Navier–Stokes 方程式中的一個有限時間奇點，這可能解決了數學界的七大千禧獎問題之一。該結果描述了一種流體，最初保持平滑且靜止，然後一個漩渦向內崩潰。其核心逐漸伸展並加速，直到速度變得無限大，然而系統的總能量仍然保持有限。這種組合使得所提出的解決方案相當引人注目。儘管存在黏性，方程式仍需產生自身的崩潰，這通常會平滑流體運動中的劇烈變化。
想像一下，一根旋轉的流體柱在旋轉過程中被拉得更緊且更長。中央區域不斷縮小，將運動集中到一個越來越小的區域。最終，速度在有限時間內爆炸性增長。OpenAI 表示，周圍的數學保持足夠的控制力，使流體的能量保持有限。困難之處在於如何讓這種行為自然而然地從方程式中產生。研究人員無法僅僅引入無限的外部力量來創造奇點。在接近崩潰的時候，加速度、壓力梯度、動量轉移和黏性都會劇烈增長。
這些因素也會以足夠的精確度互相抵消，從而留下平滑的外部力量。這種平衡賦予了結果其物理特性。該奇點源自流體自身的動力學，Navier–Stokes 方程式幾代以來都未能證明此類情況。
研究人員如何探索問題
在 1934 年，Jean Leray 表明存在廣義解，但數學家們從未確定平滑解是否必須保持平滑。OpenAI 並非通過單一模型得出這一結果，而是組建了一個大型代理網絡，並給予不同團隊不同版本的問題。該工作始於 9 月 1 日，當時研究人員聽說有關主要數學問題被解決的傳聞。各組團隊追求競爭性的結果，包括可能的崩潰。該公司在推特上表示：「我們分享了一個針對 Navier-Stokes 千禧獎問題的解決方案，這是數學前沿的一個深層問題。」
該證明是由一組代理生成，使用了比 GPT-6 Astra 更具能力的下一代模型。
在高峯時期，Navier–Stokes 的努力涉及大約 10,000 名同時代理。他們可以在隔離環境中運行代碼並讀取緩存的互聯網資料。一個早期的結果幫助指引了對流體奇點的搜尋。近 100 名代理花費約 50 小時解決了無迫版本的歐拉方程的正則性問題。研究人員將該結果輸入 Navier–Stokes 的努力中，Codex 幫助整合各代理組之間的有用想法。這些代理在 9 月 5 日達成了他們的結果，約在項目開始後的 88 小時。
隨後，GPT-6 Astra 又花費 17 小時在 Lean 中正式化和檢查證明。Navier–Stokes 的工作共涉及 270 萬條消息和約 1,300 億個輸出標記。
OpenAI 的證明與未來展望
OpenAI 並不打算申請 100 萬美元的千禧獎。它發佈了證明及其 Lean 正式化，以證明數學能力的進步。數學家仍需檢查該論證，並確定其是否符合官方問題的每一要求。OpenAI 亦披露了 Levent Alpöge 和 NYU 數學家 Tristan Buckmaster 在強迫歐拉方程上的獨立工作。如果該證明經得起專家審查，將顯示由機器引導的數學搜索可以揭示一種研究人員迄今未能發現的機制。
漩渦收緊、伸展並加速，直到方程無法再保持其速度有限。
機器學習在數學研究中的潛力
OpenAI 的發現顯示了機器學習在解決複雜數學問題方面的潛力。傳統數學研究通常依賴於人類的直覺和經驗，而這次的突破則展示了透過代理網絡的協作，能夠發現人類未能解決的問題。這不僅可能改變數學界對於流體力學的理解，還可能推動其他領域的研究，顯示出機器學習技術在科學探索中的重要性。