- OpenAI hat eine endliche Zeit-Singularität in den dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen entdeckt.
- Das Ergebnis könnte eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik lösen.
- Forscher verwendeten ein großes Netzwerk von Agenten für wettbewerbsorientierte Studien verschiedener Versionen des Problems.
- OpenAI beabsichtigt nicht, den Millennium-Preis zu beantragen, sondern teilt den Beweis, um den Fortschritt in der Mathematik zu demonstrieren.
OpenAI gab kürzlich bekannt, dass sein internes System eine endliche Zeit-Singularität in den dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen entdeckt hat, was möglicherweise eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik gelöst hat. Das Ergebnis beschreibt eine Flüssigkeit, die zunächst glatt und ruhend ist, bevor ein Wirbel nach innen kollabiert. Der Kern dehnt sich allmählich aus und beschleunigt, bis die Geschwindigkeit unendlich wird, während die Gesamtenergie des Systems dennoch endlich bleibt. Diese Kombination macht die vorgeschlagene Lösung ziemlich bemerkenswert. Trotz der Viskosität muss die Gleichung ihren eigenen Kollaps erzeugen, was normalerweise die heftigen Veränderungen in der Fluidbewegung glättet.
Stellen Sie sich eine rotierende Fluid-Säule vor, die während der Rotation enger und länger gezogen wird. Die zentrale Region schrumpft ständig und konzentriert die Bewegung auf einen immer kleineren Bereich. Schließlich wächst die Geschwindigkeit in einer endlichen Zeit explosionsartig an. OpenAI erklärt, dass die umgebende Mathematik ausreichend Kontrolle ausübt, um die Energie des Fluids endlich zu halten. Die Schwierigkeit liegt darin, wie sich dieses Verhalten natürlich aus den Gleichungen ergibt. Forscher können nicht einfach eine unendliche externe Kraft einführen, um die Singularität zu erzeugen. In der Nähe des Kollapses werden Beschleunigung, Druckgradient, Impulsübertragung und Viskosität dramatisch ansteigen.
Diese Faktoren werden sich auch mit ausreichender Präzision gegenseitig ausgleichen, um eine glatte externe Kraft zu hinterlassen. Dieses Gleichgewicht verleiht dem Ergebnis seine physikalischen Eigenschaften. Die Singularität entsteht aus der eigenen Dynamik des Fluids, und die Navier-Stokes-Gleichungen haben solche Fälle seit Generationen nicht nachweisen können.
Wie Forscher das Problem erforscht haben
Im Jahr 1934 zeigte Jean Leray die Existenz einer verallgemeinerten Lösung, aber Mathematiker haben nie festgestellt, ob eine glatte Lösung glatt bleiben muss. OpenAI kam zu diesem Ergebnis nicht durch ein einzelnes Modell, sondern baute ein großes Netzwerk von Agenten auf und gab verschiedenen Teams unterschiedliche Versionen des Problems. Die Arbeit begann am 1. September, als Forscher von Gerüchten über die Lösung eines wichtigen mathematischen Problems hörten. Die verschiedenen Teams verfolgten wettbewerbsorientierte Ergebnisse, einschließlich eines möglichen Kollapses. Das Unternehmen twitterte: "Wir haben eine Lösung für das Navier-Stokes-Millennium-Problem geteilt, ein tiefes Problem an der Spitze der Mathematik."
Der Beweis wurde von einer Gruppe von Agenten erstellt, die ein leistungsfähigeres Modell als GPT-6 Astra verwendeten.
Während des Höhepunkts umfasste der Einsatz für Navier-Stokes etwa 10.000 gleichzeitige Agenten. Sie konnten Code in einer isolierten Umgebung ausführen und zwischengespeicherte Internetdaten lesen. Ein frühes Ergebnis half, die Suche nach der Fluid-Singularität zu leiten. Fast 100 Agenten verbrachten etwa 50 Stunden damit, das Regularitätsproblem der ungezwungenen Euler-Gleichungen zu lösen. Forscher gaben dieses Ergebnis in die Bemühungen für Navier-Stokes ein, und Codex half, nützliche Ideen zwischen den Agentengruppen zu integrieren. Diese Agenten erreichten ihr Ergebnis am 5. September, etwa 88 Stunden nach Projektbeginn.
Anschließend verbrachte GPT-6 Astra weitere 17 Stunden damit, den Beweis in Lean zu formalisieren und zu überprüfen. Die Arbeit an Navier-Stokes umfasste insgesamt 2,7 Millionen Nachrichten und etwa 130 Milliarden Ausgabemarkierungen.
Der Beweis von OpenAI und die Zukunftsaussichten
OpenAI beabsichtigt nicht, den mit 1 Million Dollar dotierten Millennium-Preis zu beantragen. Es hat den Beweis und seine Lean-Formalisierung veröffentlicht, um den Fortschritt in der Mathematik zu demonstrieren. Mathematiker müssen den Beweis noch überprüfen und feststellen, ob er allen Anforderungen der offiziellen Problemstellung entspricht. OpenAI hat auch die unabhängige Arbeit von Levent Alpöge und dem NYU-Mathematiker Tristan Buckmaster an den erzwungenen Euler-Gleichungen offengelegt. Wenn der Beweis den Expertenprüfungen standhält, wird er zeigen, dass durch maschinengestützte mathematische Suche ein Mechanismus aufgedeckt werden kann, den Forscher bisher nicht entdeckt haben.
Der Wirbel zieht sich zusammen, dehnt sich aus und beschleunigt, bis die Gleichung die Geschwindigkeit nicht mehr endlich halten kann.
Das Potenzial von maschinellem Lernen in der mathematischen Forschung
Die Entdeckung von OpenAI zeigt das Potenzial von maschinellem Lernen bei der Lösung komplexer mathematischer Probleme. Traditionelle mathematische Forschung stützt sich in der Regel auf die menschliche Intuition und Erfahrung, und dieser Durchbruch zeigt, dass durch die Zusammenarbeit in einem Netzwerk von Agenten Probleme gelöst werden können, die Menschen bisher nicht lösen konnten. Dies könnte nicht nur das Verständnis der Mathematiker für die Strömungsmechanik verändern, sondern auch die Forschung in anderen Bereichen vorantreiben und die Bedeutung von Machine-Learning-Technologien in der wissenschaftlichen Erforschung unterstreichen.