OpenAI システムがが、三次元 Navier–Stokes 方程式の有限時間特異点問題を90年ぶりに解決

OpenAIは最近、自社のシステムが三次元の Navier–Stokes 方程式における有限時間特異点を発見したと発表した。この結果は、流体が最初は滑らかで静止しており、その後、渦が内側に崩壊していく様子を描写している。その中心部は徐々に引き伸ばされ、加速していき、最終的には速度が無限大になる。しかし、系の総エネルギーは有限に保たれる。この組み合わせが提案された解決策を非常に興味深いものにしている。粘性が存在する場合でも、方程式は自身の崩壊を生み出しなければならない。これは通常、流体の動きにおける急激な変化を滑らかにする。

想像してみてください。一本の回転する流体の柱が回転するにつれて、よりきつく、より長く引き伸ばされていく。中央領域は縮小し続け、運動をますます小さな領域に集中させる。最終的に、速度は有限時間内で爆発的に増大する。OpenAIは、周囲の数学が流体のエネルギーを有限に保つのに十分な制御力を維持していると述べている。難しい点は、このような挙動を方程式から自然に生み出す方法である。研究者は無限の外部力を導入して特異点を作り出すことはできない。崩壊に近づくにつれて、加速度、圧力勾配、運動量移動、粘性はすべて劇的に増大する。

これらの要因も十分な精度で互いに打ち消し合い、滑らかな外部力を残す。このバランスがその結果に物理的特性を与えている。この特異点は流体の動力学的性質から生じており、Navier–Stokes 方程式は何世代にもわたってこのような状況を証明することができなかった。

研究チームはどのように問題に取り組んだか

1934年、Jean Leray は広義解が存在することを示したが、数学者たちは滑らかな解が必ず滑らかさを保つ必要があるかどうかを決定することはできなかった。OpenAI は単一のモデルでこの結果を導き出したのではなく、大規模なエージェントネットワークを構築し、異なるチームに異なるバージョンの問題を与えた。この取り組みは9月1日に始まり、研究者たちは主要な数学的問題が解決されたという噂を耳にした。各チームは、可能な崩壊を含む競争的な結果を目指した。同社はツイッターで「私たちは Navier–Stokes ミレニアム賞問題に対する解決策を共有した。これは数学の最先端にある深遠な問題である。」と発表した。

この証明は、エージェントのグループによって生成され、GPT-6 Astra よりも能力の高い次世代モデルが使用された。

ピーク時には、Navier–Stokes の取り組みには約10,000人の同時エージェントが関与していた。彼らは隔離された環境でコードを実行し、キャッシュされたインターネットデータを読むことができた。初期の結果が流体の特異点の探索に指針を与えた。約100人のエージェントが約50時間をかけて無強制版のオイラー方程式の正則性問題を解決した。研究者はこの結果を Navier–Stokes の取り組みに入力し、Codex がエージェントグループ間の有用なアイデアを統合するのを助けた。これらのエージェントは9月5日に結果を達成し、プロジェクト開始から約88時間が経過していた。

その後、GPT-6 Astra はさらに17時間をかけて Lean で証明を形式化し、チェックした。Navier–Stokes の取り組みには合計270万件のメッセージと約1,300億個の出力トークンが関与した。

OpenAI の証明と今後の展望

OpenAI は100万ドルのミレニアム賞に応募する予定はない。証明とその Lean 形式化を公開することで、数学的能力の進歩を示すためである。数学者たちはこの議論を検証し、それが公式の問題のすべての要件を満たしているかどうかを決定する必要がある。OpenAI はまた、Levent Alpöge と NYU の数学者 Tristan Buckmaster による強制オイラー方程式に関する独立した仕事についても明らかにした。この証明が専門家の審査に耐えることができれば、機械主導の数学的探索が研究者たちがこれまで発見できなかったメカニズムを明らかにできることを示すことになる。

渦が締め付けられ、引き伸ばされ、加速し、方程式が速度を有限に保つことができなくなる。

機械学習の数学研究における可能性

OpenAI の発見は、機械学習が複雑な数学的問題を解決する上での可能性を示している。伝統的な数学研究は通常、人間の直感と経験に依存しているが、今回の発見は、エージェントネットワークの協力によって人間が解決できなかった問題を明らかにできることを示している。これは数学界が流体力学を理解する方法を変えるだけでなく、他の分野の研究を推進し、機械学習技術が科学研究において重要な役割を果たすことを示している。