量子理論における「合意の不一致」原則が新たに実証され、古典的な確率の枠組みを超越

二人が同じ証拠を吟味し、異なる結論に至ることはあり得る。しかし、共有された前提をもち、お互いの信念を知っている場合、約半世紀前に確立された定理は、特定の条件下では二人の意見の不一致が持続し得ないことを示している。今回、Chapman大学の二人の研究者は、この原理が古典的な確率を超え、量子理論と古典的な知識モデルを組み合わせた枠組み、さらには幅広い一般化された確率理論にも適用されることを示した。「我々は、量子理論のもとでは意見の不一致に達することは不可能であると主張する。さらに、量子論に基づく論拠から、あらゆる一般化された確率理論においても、意見の不一致に達することが禁じられていることを示す。」

研究者はその研究のなかでこのように述べている。この研究は、意見の不一致に対する制約が、現実の性質だけでなく、情報の更新方法にも由来し得ることを示唆している。

合意を古典物理学の外側へと拡張する問題

1976年、経済学者のRobert Aumannが合意定理を確立した。この定理は、合理的エージェントが同じ事前信念から始まり、彼らの更新された信念が共有知識となったとき、同じ事象に対して異なる確率を割り当てることは持続しないと述べる。共有知識とは、単に各人がその事柄を知っているということではない。各人がそれを知り、他の誰もがそれを知っていると知っており、さらにその先も無限に続くことを意味する。この定理はもともと古典的な確率に依拠していた。そのため、量子力学が、物理学的な系を記述する特異な規則ゆえに、人々が意見の不一致に達し得るか否かという重要な問いが生じた。

量子理論における合意定理

先行研究では、量子的状況と非シグナリング系を含む拡張が検討されてきた。今回の研究の著者たちは別の経路を採り、確率を記述する数学が変わった場合にもこの定理が生き残るか否かを検討した。

量子理論のもとでも存続し得る数学的規則

研究者はまず、古典的な集合論の枠組みを用いて、知識に関する量子的バージョンの合意定理を構築し、Density Operator-Valued Measures（DOVMs）と呼ばれる量子的数学オブジェクトを導入した。DOVMを用いることで、研究者は事象に関する情報を通常の数値確率ではなく量子状態を用いて記述できる。続いて研究者は、特定の事象に着目した後に利用可能な情報を表す条件付き量子状態を定義した。これは、Aumannの元の証明が、情報を取得した後に確率を更新する手続きである条件づけに依拠しているため、きわめて重要である。彼らは、エージェントの条件付き量子状態が共有知識となる限り、共有事象がゼロでない量子測度をもつ場合には、それらの状態が同一でなければならないことを示した。

しかし、この結果は特定の混合的枠組みにのみ適用され、量子知識を表現し得るあらゆる枠組みに当てはまるわけではない。

研究者は続いて、論拠を一般化された確率理論（GPTs）へと拡張した。これにより、科学者は古典理論と量子理論の両方を超えた確率的な体系を研究できる。彼らの手法は二つの要件に依拠する。第一に、相互に排反な事象の間で一貫して加算できる、確率に類似した尺度。第二に、情報に応じて状態を条件づけまたは更新する明確な手続きである。「GPTにおいて、合意定理は、新しい情報を取得したあとにどのように条件づけるかを選んだことの直接的な帰結である」と研究者は補足している。状態値測度と条件付き状態を利用することで、彼らは、必要な数学的条件が満たされる限り、Aumannの定理がこれらの体系にも適用されることを示した。

研究結果の意義と限界

研究結果の意義と限界

この研究は、Aumannの合意定理が古典的な確率や量子理論に限られたものではないことを示している。むしろ、その有効性は情報の更新を規定する数学的規則に依存している。しかしながら、研究者の枠組みには限界がある。静的な知識モデルを用いており、非マルコフ過程や前後選択の状況を含む、いくつかの結合的な量子状態を表現できない。研究者は今後の研究によって、エージェント間の通信や、より一般的なバージョンの定理が検討され得るとしている。現時点での彼らの発見は、確率の規則を変えても、合理的エージェントが意見の不一致に達するのを防ぐ数学的な条件が必ず消えるわけではないことを確固たるものにしている。

本研究はジャーナル『Quantum』に掲載された。

量子理論が合意定理に与える影響

本研究は、量子理論のもとでの合意定理に新たな視点を提供し、量子的枠組みのもとでは合理的エージェントが意見の不一致を持続し得ないことを示した点で、伝統的な確率の観念に挑戦するものである。この研究は、合意形成において情報を更新する数学的規則が重要であることを強調するだけでなく、Aumannの定理を一般化された確率理論にまで拡張し、より広範な体系においても依然として有効であることを示した。一方で、研究はその枠組みの限界も指摘しており、複雑な量子状態の一部を含めるまでには至っていない。このことは、将来の研究が量子的通信やより広範な理論的応用をさらに探究する必要があることを示唆している。